扩散硅压力传感器应力计算建模

李进军 石成英

摘要：本文依据弹性力学厚板原理建立扩散硅压力传感器的应力计算模型，根据电桥原理得到应力与其输出电压之间的关系。计算结果与标定值比较，吻合良好。

关键词：应力计算；扩散硅；压力传感器

中图分类号： TP212.1 文献标识码： A

一、引言

扩散硅压力传感器是近几年发展较快的压力传感器，广泛用于工业、农业、军事、宇航等各个领域，并日益成为各种压力仪器仪表和工业自动化装置的核心或关键部件，其性能的优劣会直接影响整个系统的准确性和快速性。以往，人们大多依据弹性力学薄板原理，用解析法分析扩散硅压力传感器的工作原理，当受压时，硅膜片上各点的应力不同，利用解析法计算电阻条上应力的平均值为

（ 1 ）

式中， s r 、 s t —径向和切向电阻条上应力的平均值；

r 1 、 r 2 —硅杯中心到电阻条两端的半径。

式（ 1 ）将电阻条视为一条线段，没有考虑其宽度。而大多数电阻条采用条宽为数微米至数百微米的 π 型或三折型结构。因此，实际应力是电阻条所在区域的平均应力，而不是一条线段上的平均应力，并且式（ 1 ）也没有考虑板的横向剪切变形。

为了精确分析扩散硅压力传感器的静态和动态特性、计算其性能指标，我们依据弹性力学厚板原理 ，采用等参元素法建立了扩散硅膜片的应力分布数学模型。

二、弹性元件结构特性

扩散硅压力传感器通常是在硅膜片上用离子注入和激光修正的方法形成 4 个阻值相等的扩散电阻，组成一个惠斯顿电桥，弹性元件典型结构如图 1 所示。在内压作用下，弹性元件结构会发生微小变形，导致表面应变发生变化，使得四个应变片的电阻发生相应变化，并由电桥不平衡输出对应电压信号。从图 1 （ a ）中可知，结构和载荷是轴对称的，

变形也是轴对称的。设硅杯半径为 a ，膜片半径为 b ，厚度为 t ，作用在膜片上的压力为 P ， σ 0 为膜片中心处的应力，则存在以下关系：

（ 2 ）

图 1 （ b ）中，选用 N 型（ 110 ）晶面作弹性膜片，在沿 <110> 晶向的直径上制作四个等值 P 型硅电阻， R 2 、 R 3 位于正应力区， R 1 、 R 4 位于负应力区，则该四个电阻只有纵向压阻效应 ，有：

纵向压阻系数： （ 为剪切压阻系数）；

横向压阻系数： 。

电阻改变量的符号取决于应力的方向，故：

正应力区：

（ 3 ）

负应力区：

（ 4 ）

式中， —电阻 R 2 、 R 3 所在半径 r (2 ， 3) 处的径向平均应力；

—电阻 R 1 、 R 4 所在半径 r (1 ， 4) 处的径向平均应力。

三、应力计算建模

在厚板单元的公式中，使用 Mindlin 假设：板的挠度是小的；变形之前中面的垂线在变形后仍保持不变，但不一定垂直于中面；垂直中面的应力不论载荷如何都可忽略。于是位移场就可以由横向位移 ω 和变形前后中面垂线的旋转角度 θ 确定。现以变形前中面为 oxy 平面，板厚为 z 轴建立直角坐标系。图 2 （ a ）、（ b ）分别为均质面板横截面的变形在 oyz 面和 oxz 面上的投影图，因此，角变量 q 可看作是 oyz 面上的投影分量 q y 与 oxz 面内的投影分量 q x 的向量和， q x 和 q y 可看作是平均转角。随后，作一个修正，以便允许非均匀的剪切分布。在图 2 中，角 f x 和 f y 表示平均剪切变形。对于 x 和 y 方向广义位移 d 和平均剪切 f 变形可以写成：

； （ 5 ）

将 oxy 平面取成与中面重合，如图 3 所示。板厚为 t ，外力作用在中面上。弯矩 M 和剪力 Q 的定义为：

； （ 6 ）

上两式中积分在 z =- t /2 到 z =- t /2 区间内进行，于是板的总位能可以写成：

（ 7 ）

式中， X x 、 X y 、 X xy —弯曲变形量；

q —每单位面积的分布载荷；

A —面积。

在求出单元内各高斯点的应力合力后，由下式可求出单元的平均应力：

（ 8 ）

运用厚板理论计算时，可取 1/4 区域分析，边界条件为：

（ 9 ）

四、电桥电路分析

由硅膜片组成的惠斯顿电桥如图 4 所示，输入电压为 U i ，输出电压为 U o ，电阻的变化由电桥转换成电压输出，有：

（ 10 ）

若： ，且满足式（ 3 ）及式（ 4 ），则上式可简化为：

（ 11 ）

通过合理设计电阻条的长度 L 和位置 r 1 、 r 2 、 r 3 、 r 4 ，可以保证 ，即四个电阻条的应力相等。从而使得在压力 P 作用下，电阻 R 2 、 R 3 与 R 1 、 R 4 的电阻变化量相等，而符号相反，构成全桥差动电桥电路。此时，电桥输出 U o 与平均应力 成线性关系，于是输出电压 U o 与压力 P 成正比。

五、计算和结论

以某型扩散硅压力传感器为实验对象，计算和实验结果如表 1 所示。

表 1 计算和实验结果

与标定值比较表明，用等参元素法计算出的传感器输入、输出关系（压力与电桥输出电信号关系）与实测情况吻合良好，可见用这种方法分析传感器的应力场以及建立的力学模型是正确的。

参考文献：

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[2] 刘君华 . 智能传感器技术 [M]. 西安电子科技大学出版社， 2000

[3] 徐科军，陈荣保，张崇巍 . 自动检测和仪表中的共性技术 [M]. 清华大学出版社， 2000

[4] 任均国，王洪业，欧阳勇 . 平膜片式压力传感器有限元分析 [J]. 传感器技术学报， 2001 ， 6 （ 2 ）

Modeling the Stress Calculation of the Diffusion Silicon Pressure Sensor

Abstract: The stress calculation model of the diffusion silicon pressure sensor is established by the thick-plate method of the elastic-mechanics. The output voltage is related to the resistance change in the electrical bridge. The results of calculation and the calibrated values are almost the same.

Keywords: stress calculation; diffusion silicon; pressure sensor

作者简介：

李进军，西安二炮兵工程学院在读硕士研究生，研究方向为自动化测控与现代传感器技术。

通信地址：陕西西安第二炮兵工程学院研究生三队

邮编： 710025 电话 029-83348327

E-mail ： lijj6228@sohu.com

石成英，西安二炮兵工程学院副教授，硕士研究生导师，西北工业大学自动控制系博士研究生。主要研究方向为现代检测技术与自动化控制。